3 Un tanque con una bomba y una válvula de resistencia variable
Problema 5.2 (Process Control- Coughanowr, LeBlanc)
El sistema mostrado en la figura tienen un área seccional A=3\text{ pie²}, la ecuación de la válvula es q=8\sqrt{h}. Con q en [pie³/min] y h (altura desde encima de la válvula) en [pie].
Calcule la constante del tiempo \tau para cuando la altura por encima de la válvula en estado estacionario es a) 3 pie y b) 9 pie.
Resolviendo
\begin{array}{l} Datos\\ A = 3 \text{ pie²}\\ q_0=8 \sqrt{h} \end{array}
Linealizando q_0=8 \sqrt h
La expandimos usando las serie de Taylor al rededor del estado estacionario.
f(x) = f(x_s)+\frac{df}{dt}\bigg |_{x=x_s} (x-x_s)
q_0=8\sqrt{h_s}+\frac{4}{\sqrt{h_s}}(h-hs)
q_0=q_{0s}+\frac{4}{\sqrt{h_s}}(h-hs)
q_0-q_{0s}=\frac{4}{\sqrt{h_s}}(h-hs)
Hagamos R=\frac{\sqrt{h_s}}{4}\space\space\space\textbf{ (A)}
q_0-q_{0s}=\frac{(h-hs)}{R}\space\space\space\space\textbf{(1)}
Realizando el balance en el sistema
q - q_0 - q_b= \frac{dV}{dt} \space\space\space\space \textbf{(2)}
Escribiendo el balance en estado estacionario
q_s- q_s0 -q_b= 0 \space\space\space\space \textbf{(3)}
Restando (2) con (1) para obtener las variables desviación y recordando que dh=d(h-h_s), por ser h_s constante.
q-q_s-(q_s-q_s0)=A\frac{d(h-h_s)}{dt}
Reemplazando con la ecuación (1)
q-q_s-\frac{(h-hs)}{R}=A\frac{d(h-h_s)}{dt}
Transformando a variables desviación
Q - \frac{H}{R} = A\frac{dH}{dt}
Aplicando la tranformada de Laplace y sabiendo que H(t=0)= h-h_s=h_s-h_s=0
Q(s) - \frac{H(s)}{R} = A\left[sH(s)-H(t=0)\right]\\ \\ Q(s) - \frac{H(s)}{R} = AsH(s)
\frac{H(s)}{Q(s)}=\frac{R}{ARs+1} \\
Por comparación con el modelo de primer orden \frac{H(s)}{Q(s)}=\frac{Kp}{\tau s+1} y sabiendo que A=3 y R = \sqrt{h_s}/4
Notamos que \tau=AR=3\frac{\sqrt{h_s}}{4}
Para a) h_s=3 \mathbf{\tau = 1.2990\space min} Para b) h_s=9 \mathbf{\tau = 2.25 \space min}
Referencias
- Coughanowr, D. R.; LeBlanc, S. E. (2009). Process Systems Analysis and Control (3rd edition). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-339789-4.