2 Un sistema con un tanque, una bomba y una válvula
Problema 5.1 (Process Systems Analysis and Control - Coughanowr, LeBlanc)
Derive la ecuación transferencia H(s)/Q(s) para el nivel del líquido del sistema mostrado en la figura, cuando el tanque opera en estado estacionario a:
- \text{ }h_s = 1 \text{ pie}
- \text{ }h_s = 3 \text{ pie}
La bomba extrae agua a caudal constante de 10\text{ pie³/min} y es independiente del la altura h, El área seccional es A = 1.0\text{ pie²} y la resistencia es R=0.5\text{ pie³/min}.
Resolución
Resolviendo para h_s=1\text{pie}
Cuando la altura h_s=1 podemos notar que no existe flujo posible por la válvula, por lo que no lo consideramos en la ecuación transferencia.
Escribiendo las ecuaciones de balance
q - q_b = \frac{dV}{dt} = A\frac{dh}{dt} \space\space\space\space\space \textbf{(1)}
Ecuacion en estado estacionario
q_s - q_b = 0 \space\space\space\space\space \textbf{(2)}
Restando (1) con (2) para obtener las variables desviación y recordando que dh=d(h-h_s), por ser h_s constante.
q-q_s=A\frac{d(h-h_s)}{dt}
Q = A\frac{dH}{dt}
Aplicando la tranformada de Laplace, sabiendo que H(t=0)= h-h_s=h_s-h_s=0 y A=1\text{ pie}.
Q(s) = A(sH(s)-H(t=0))\\ \mathbf{\frac{H(s)}{Q(s)} = \frac{1}{s}}
Resolviendo para h_s=3\text{ pie}
Cuando h_s=3 el sistema se encuentra operando sobre el nivel de la válvula, por lo que si existe un flujo q_0 que pasa por este.
Aplicando un balance del sistema y sabiendo que q_0 = h-h_v/R, donde h_v es la altura de la válvula
q - q_0- q_b = A\frac{dh}{dt} q - \frac{h-h_v}{R}- q_b = A\frac{dh}{dt} \space\space\space\space\space \textbf{(3)}
Balance en estado estacionario
q_s - \frac{h_s-h_v}{R}- q_b = 0 \space\space\space\space\space \textbf{(4)}
Restando (3) con (4) para obtener las variables desviación y recordando que dh=d(h-h_s), por ser h_s constante.
q - q_s- \frac{h-h_s}{R} = A\frac{d(h-h_s)}{dt}
Q -\frac{H}{R} = A\frac{dH}{dt}
Aplicando la tranformada de Laplace, sabiendo que H(t=0)= h-h_s=h_s-h_s=0, A=1\text{ pie} y R=0.5\text{ pie/(pie³/min)}.
Q(s) -\frac{H(s)}{R} = A(sH(s)-H(t=0))\\ \frac{H(s)}{Q(s)} = \frac{R}{ARs+1}
\mathbf{\frac{H(s)}{Q(s)} = \frac{0.5}{0.5s+1}}
Referencias
- Coughanowr, D. R.; LeBlanc, S. E. (2009). Process Systems Analysis and Control (3rd edition). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-339789-4.