Respuesta de una reactor químico a un cambio de concentración de entrada

Problema 5.5 (Process Systems Analysis and Control - Coughanowr, LeBlanc)

Considere el tanque agitado mostrado en la figura. La reacción que ocurrre es:

$$A \to B\\$$

Con una velocidad de reacción igual a:

$$r=kC_0$$

Donde

$$\begin{array}{l} r \text{ = (mol A)/(volumen)/(tiempo)}\\ k \text{ = constante de velocidad de reacción}\\ C_0(t)\text{ = concentración de A en el reactor en el tiempo t } (mol\space A)/(volumen)\\ V\text{ = volumen de la mezcla en el reactor}\\ F\text{ = caudal de alimentación constante (volumen)/(tiempo)}\\ C_i(t)\text{concentración de A en la entrada (mol A)/(volumen)} \end{array}$$

Asumiendo densidad y volumen constante V, derive la función de tranferencia, relacionando la concentración en el reactor y la concentración de entrada. Dibuje la respuesta del reactor para un cambio tipo paso unitario en la concentración de entrada.

Resolviendo

Escribiendo nuestro balance de materia, sabiendo que $n_o = C_0V$

$$C_iF-C_0F-kC_0V=\frac{dn_o}{dt} = \frac{d(C_0V)}{dt}$$

$$C_iF-C_0F-kC_0V=V \frac{d(C_0)}{dt} \space\space\space\space\space\textbf{(1)}$$

Realizando el balance en estado estacionario

$$C_{is}F-C_{0s}F-kC_{0s}V=0 \space\space\space\space\space\textbf{(2)}$$

Restado (2) de (1) y tranformando a variables desviación

$$C_iF-C_{is}F-(C_0F-C_{0s}F)-k(C_0V-C_{0s}V)=V \frac{d(C_0-C_{0s})}{dt}$$

$$C'_iF-C'_0F-kC'_0V=V \frac{d(C'_0)}{dt}$$

Aplicando la transformada de Laplace y despejando y sabiendo que $C'_0(t=0) = 0$

$$C'_i(s)F-C'_0(s)F-kC'_0(s)V=V (sC'_0(s)-C'_0(t=0))$$

$$C'_i(s)F-C'_0(s)F-kC'_0(s)V=V sC'_0(s)$$

Obteniendo nuestra función transferencia

$$\mathbf{\frac{C'_0(s)}{C'_i(s)}=\frac{F}{Vs+F+kV}}$$

Para poder hacer la gráfica con la variación de la concentración de entrada, reordenemos nuestra función.

$$\frac{C'_0(s)}{C'_i(s)}=\frac{F/(F+kV)}{Vs/(F+kV)+1}$$

Haciendo un cambio de variable

$$K_p = F/(F+kV)\\ \tau = V/(F+kV)\\$$

$$\frac{C'_0(s)}{C'_i(s)}=\frac{K_p}{\tau s+1}$$

Para un cambio en la concentración de entrada tipo paso unitario Con A como una constante cualquiera $C'_i=A/s$.

$$C'_0(s)=\frac{A}{s}\frac{K_p}{\tau s+1}$$

Reordenando para realizar la antitransformada

$$C'_0(s)=\frac{A\cdot K_p+A\cdot K_p \cdot\tau s-A\cdot K_p \cdot\tau s}{s(\tau s+1)}$$

$$C'_0(s)=\frac{A\cdot K_p}{s}-\frac{A\cdot K_p \cdot\tau}{\tau s+1}$$

$$C'_0(s)=\frac{A\cdot K_p}{s}-\frac{A\cdot K_p}{s+1/\tau}$$

Antitransformando

$$C'_0(t) = A\cdot K_p(1-e^{-t/\tau})$$

Graficando esta respuesta

Referencias

• Coughanowr, D. R.; LeBlanc, S. E. (2009). Process Systems Analysis and Control (3rd edition). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-339789-4.