Sistema de tanque con una válvula de resistencia descrita por un gráfico

Problema 5.3 (Process Systems Analysis and Control - Coughanowr, LeBlanc)

Grafico de prob 5.3

Un tanque con un área seccional de 2 pie² opera en estado estacionario con un flujo de entrada de 2 pie³/min. El flujo de salida vs la altura del sistema son representados en la figura.

Encuentre:

La función transferencia $H(s)/Q(s)$ .
Si el flujo hacia el tanque se incrementa en de 2.0 a 2.2 pie³/min (paso unitario), calcule el nivel h, 2 minutos después del cambio.

\begin{array}{l} Datos\\ A = 2\space pie²\\ q_s = 2\space pie³/min \end{array}

Obtención de la ecuación $q_0$

Como se observa en la gráfica $q_0$ es función de la altura y es una recta. Usando la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos tenemos $(h_{1}=0.3,q_{01}=1)$ y $(h_{2}=1,q_{02}=2.4)$ :

\frac{q_0-q_{01}}{h-h_1}=\frac{q_{02}-q_{01}}{h_2 - h_1}\\

\frac{q_0-1}{h-0.3}=\frac{2.4-1}{1 - 0.3}\\

q_0 = 2h+0.4

Escribiendo las ecuaciones de balance

q - q_0 = \frac{dV}{dt}

Pero $q_0 = 2h+0.4$ y $dV = Adh$

q- (2h+0.4) = A\frac{dh}{dt} \space\space\space\space (1)

Escribiendo el balance en estado estacionario

q_s- (2h_s+0.4) = 0 \space\space\space\space (2)

Restando (1) con (2) para obtener las variables desviación y recordando que $dh=d(h-h_s)$ , por ser $h_s$ constante.

q-q_s-2(h-h_s)+=A\frac{d(h-h_s)}{dt}

Q - 2\cdot H = A\frac{dH}{dt}

Aplicando la tranformada de Laplacey sabiendo que $H(t=0)= h-h_s=h_s-h_s=0$

Q(s) - 2H(s) = A(sH(s)-H(t=0))\\

Q(s) - 2H(s) = AsH(s)

Despejando

\mathbf{\frac{H(s)}{Q(s)}=\frac{1}{2 s+2}} \space\space\space\space (3) \\

Descripción de la perturbación

La perturbación sólo va a afectar el caudal de ingreso, esta puede ser representado por la variable desviación $Q(t)$

Q(t)=q-q_s= \begin{cases} 2.0-2.0 &\text{si } t < 0 \\ 2.2-2.0 \space\ pie³/min &\text{si } t>0\\ \end{cases}

Q(t)= \begin{cases} 0 &\text{si } t < 0 \\ 0.2 \space\ pie³/min &\text{si } t>0\\ \end{cases}

Expresando la misma función con impulsos unitarios y aplicando la transformada de Laplace

Q(t) = 0.2\cdot u(t)

Entonces

Q(s) = \frac{0.2}{s}

Resolviendo para $h(t=2)$

Reemplazando la expresión anterior en la ecuación (3)

\begin{array}{l} H(s)= Q(s)\cdot \frac{1}{2s+2} \\ \\ H(s) = \frac{0.2}{s(2s+2)}\\ \end{array}

Operando para realizar la antitransformada

H(s) = \frac{0.2+0.2s-0.2s}{s(2s+2)}=\frac{0.1(2s+2)}{s(2s+2)}-\frac{0.2s}{s(2s+2)}

H(s) = \frac{0.1}{s}-\frac{0.1}{(s+1)}\\

Aplicando la antitransformada $L^{-1}\{\space\}$

Recuerde $L^{-1}\{\frac{1}{s+k}\}= e^{-kt}$

H(t) = 0.1-0.1\cdot e^{-t}

Calculando h(t=2)

De la ecuación en estado estacionario

q_s-(2h_s+0.4)=0 => h_s=0.8