Un Cono por tanque con una válvula.

Por: publicado el Oct 6, 2022

Problema 5.18 (Process Systems Analysis and Control - Coughanowr, LeBlanc)

gráfica problema 5.18

Encuentre la función transferencia que relaciona la altura del embudo tanque y los cambios en el caudal de entrada.

Asumiendo densidad constante, realizamos nuestro balance de materia

qi−qo=dVdt    ... (α)q_i-q_o=\frac{dV}{dt}\space\space\space\space\textbf{... }\mathbf{(\alpha)}

Observamos que nuestro volumen es dependiente de la altura de manera no lineal.
Nuestro radio y volumen estan en función de la altura

r=h⋅tan(15°)r = h\cdot tan(15°)

V=πr2h3V = \frac{\pi r^2 h}{3}

Poniendo el volumen en función de h, y haciendo k1=πtan2(15°)/3k_1=\pi tan^2(15°)/3

V=πtan2(15°)3h3V = \frac{\pi tan^2(15°)}{3}h^3

V=k1h3V = k_1h^3

Linealizando usando la serie de Taylor truncada a primer orden, alrededor del estado estacionario

f(x)=f(xs)+dfdx∣x=xs(x−xs)f(x)=f(x_s)+\frac{df}{dx}\bigg |_{x=x_s} (x-x_s)

Siendo nuestra función a linealizar f(h)=V=k1h3f(h)=V=k_1h^3, recuerde que f(hs)=Vs=k1hs3f(h_s)=V_s=k_1h_s^3

V=k1hs3+3k1hs2(h−hs)V=k_1h_s^3+3k_1h_s^2(h-h_s)

V=Vs+3k1hs2(h−hs)V=V_s+3k_1h_s^2(h-h_s)

V−Vs=3k1hs2(h−hs)V-V_s=3k_1h_s^2(h-h_s)

Diferenciando la ecuación convenientemente

d(V−Vs)=3k1hs2⋅d(h−hs)    ... (β)d(V-V_s)=3k_1h_s^2\cdot d(h-h_s)\space\space\space\space\textbf{... }\mathbf{(\beta)}

Trabajando en la ecuación α\alpha, Asumiendo linealidad de la válvula entonces reemplazando qo=h/Rq_o=h/R

qi−hR=dVdt    ... (γ)q_i-\frac{h}{R}=\frac{dV}{dt}\space\space\space\space\textbf{... }\mathbf{(\gamma)}

Reescribiendo la ecuación en estado estacionario

qis−hsR=0    ... (θ)q_{is}-\frac{h_s}{R}=0\space\space\space\space\textbf{... }\mathbf{(\theta)}

Restando θ\theta de γ\gamma y sabiendo que dV=d(V−Vs)dV=d(V-V_s) por ser VsV_s constante.

qi−qis−h−hsR=d(V−Vs)dtq_i-q_{is}-\frac{h-h_s}{R}=\frac{d(V-V_s)}{dt}

Reemplazando la ecuación β\beta

qi−qis−h−hsR=3k1hs2d(h−hs)dtq_i-q_{is}-\frac{h-h_s}{R}=3k_1h_s^2\frac{d(h-h_s)}{dt}

Cambiando a variables desviación

Qi−HR=3k1hs2d(H)dtQ_i-\frac{H}{R}=3k_1h_s^2\frac{d(H)}{dt}

Aplicando la transformada de Laplace (H(t=0)=hs−hs=0H(t=0) = h_s-h_s = 0)

Qi(s)−H(s)R=3k1hs2(sH(s)−H(t=0))Q_i(s)-\frac{H(s)}{R}=3k_1h_s^2(sH(s)-H(t=0))

Qi(s)−H(s)R=3k1hs2sH(s)Q_i(s)-\frac{H(s)}{R}=3k_1h_s^2sH(s)

H(s)Qi(s)=R3k1hs2R⋅s+1\frac{H(s)}{Q_i(s)}=\frac{R}{3k_1h_s^2R\cdot s+1}

Reemplazando adecuadamente y sabiendo que k1=π⋅tan2(15°)/3k_1=\pi \cdot tan^2(15°)/3

H(s)Qi(s)=Kpτs+1\frac{H(s)}{Q_i(s)}=\frac{K_p}{\tau s+1}

Con τ=π⋅tan2(15°)⋅hs2⋅R  ;\tau =\pi \cdot tan^2(15°)\cdot h_s^2\cdot R\space\space;   Kp=R\space\space K_p = R

Referencias

  • Coughanowr, D. R.; LeBlanc, S. E. (2009). Process Systems Analysis and Control (3rd edition). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-339789-4.