Un sistema con un tanque, una bomba y una válvula

Por: publicado el Oct 6, 2022

Problema 5.1 (Process Systems Analysis and Control - Coughanowr, LeBlanc)

Grafico de prob 5.1

Derive la ecuación transferencia H(s)/Q(s) para el nivel del líquido del sistema mostrado en la figura, cuando el tanque opera en estado estacionario a:

  • a)  hs=1 pie\text{ }h_s = 1 \text{ pie}

  • b)  hs=3 pie\text{ }h_s = 3 \text{ pie}

La bomba extrae agua a caudal constante de 10 pie³/min10\text{ pie³/min} y es independiente del la altura hh, El área seccional es A=1.0 pie²A = 1.0\text{ pie²} y la resistencia es R=0.5 pie³/minR=0.5\text{ pie³/min}.

Resolviendo para hs=1pieh_s=1\text{pie}

Cuando la altura hs=1h_s=1 podemos notar que no existe flujo posible por la válvula, por lo que no lo consideramos en la ecuación transferencia.

Escribiendo las ecuaciones de balance

q−qb=dVdt=Adhdt     (1)q - q_b = \frac{dV}{dt} = A\frac{dh}{dt} \space\space\space\space\space \textbf{(1)}

Ecuacion en estado estacionario

qs−qb=0     (2)q_s - q_b = 0 \space\space\space\space\space \textbf{(2)}

Restando (1) con (2) para obtener las variables desviación y recordando que dh=d(h−hs)dh=d(h-h_s), por ser hsh_s constante.

q−qs=Ad(h−hs)dtq-q_s=A\frac{d(h-h_s)}{dt}

Q=AdHdtQ = A\frac{dH}{dt}

Aplicando la tranformada de Laplace, sabiendo que H(t=0)=h−hs=hs−hs=0H(t=0)= h-h_s=h_s-h_s=0 y A=1 pieA=1\text{ pie}.

Q(s)=A(sH(s)−H(t=0))Q(s) = A(sH(s)-H(t=0))\\

H(s)Q(s)=1s\mathbf{\frac{H(s)}{Q(s)} = \frac{1}{s}}

Resolviendo para hs=3 pieh_s=3\text{ pie}

Cuando hs=3h_s=3 el sistema se encuentra operando sobre el nivel de la válvula, por lo que si existe un flujo q0q_0 que pasa por este.

Aplicando un balance del sistema y sabiendo que q0=h−hv/Rq_0 = h-h_v/R, donde hvh_v es la altura de la válvula

q−q0−qb=Adhdtq - q_0- q_b = A\frac{dh}{dt}

q−h−hvR−qb=Adhdt     (3)q - \frac{h-h_v}{R}- q_b = A\frac{dh}{dt} \space\space\space\space\space \textbf{(3)}

Balance en estado estacionario

qs−hs−hvR−qb=0     (4)q_s - \frac{h_s-h_v}{R}- q_b = 0 \space\space\space\space\space \textbf{(4)}

Restando (3) con (4) para obtener las variables desviación y recordando que dh=d(h−hs)dh=d(h-h_s), por ser hsh_s constante.

q−qs−h−hsR=Ad(h−hs)dtq - q_s- \frac{h-h_s}{R} = A\frac{d(h-h_s)}{dt}

Q−HR=AdHdtQ -\frac{H}{R} = A\frac{dH}{dt}

Aplicando la tranformada de Laplace, sabiendo que H(t=0)=h−hs=hs−hs=0H(t=0)= h-h_s=h_s-h_s=0, A=1 pieA=1\text{ pie} y R=0.5 pie/(pie³/min)R=0.5\text{ pie/(pie³/min)}.

Q(s)−H(s)R=A(sH(s)−H(t=0))Q(s) -\frac{H(s)}{R} = A(sH(s)-H(t=0))\\

H(s)Q(s)=RARs+1\frac{H(s)}{Q(s)} = \frac{R}{ARs+1}

H(s)Q(s)=0.50.5s+1\mathbf{\frac{H(s)}{Q(s)} = \frac{0.5}{0.5s+1}}

Referencias

  • Coughanowr, D. R.; LeBlanc, S. E. (2009). Process Systems Analysis and Control (3rd edition). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-339789-4.