Un calentador que deja de funcionar

Por: publicado el Oct 14, 2022

Problema 5.1 (Process Dynamics, Modelling and Control - Babatunde, Harmon)

Grafico de prob 5.1

Para el proceso mostrado en la figura, un calentador electrico de agua. En un día particular el tanque trabajaba a temperatura de 80 °C, y de repente el calentador se rompe y dejar de suministrar calor, a este tiempo el tanque con 100 L de capacidad operaba con un caudal 10 L/min, la temperatura del agua fria es de 30 °C. Esto pasa durante 5 minutos, luego el calentador detiene el flujo de agua(debido al diseño del calentador).
Desarrolle un apropiado modelo matemático para este proceso, y resolviendo la ecuación diferencial encuentre la temperatura del tanque a los 5 minutos

Resolución

Escribiendo nuestro balance de energía

ρCpVdTdt=qρCp(Ti−T)+Q    .... (1)\rho C_p V \frac{dT}{dt}=q \rho C_p(T_i-T)+Q\space\space\space\textbf{ .... (1)}

Balance en estado estacionario

0=qρCp(Tis−Ts)+Qs    .... (2)0 = q \rho C_p(T_{is}-T_s)+Q_s\space\space\space\textbf{ .... (2)}

Calculamos la ecuación (2) el valor de QsQ_s que nos a servir luego

0=qρCp(30−80)+Qs0 = q \rho C_p(30-80)+Q_s

Qs=50qρCpQ_s=50q\rho C_p

Restando (1) con (2) y tranformando a variables desviación

ρCpVd(T−Ts)dt=qρCp[(Ti−Tis)−(T−Ts)]+Q−Qs\rho C_p V \frac{d(T-T_s)}{dt}=q \rho C_p\big[(T_i-T_{is})-(T-T_s)\big]+Q-Q_s

ρCpVdT′dt=qρCp[Ti′−T′]+Q′\rho C_p V \frac{dT'}{dt}=q \rho C_p\big[T'_i-T'\big]+Q'

Aplicando la transformada de Laplace y despejando la función transferencia

ρCpVsT′(s)=qρCp[Ti′(s)−T′(s)]+Q′(s)\rho C_p V sT'(s)=q \rho C_p\big[T'_i(s)-T'(s)\big]+Q'(s)

T′(s)Q′(s)=1VρCps+qρCp    .... (3)\frac{T'(s)}{Q'(s)}=\frac{1}{V\rho C_p s+q\rho C_p}\space\space\space\textbf{ .... (3)}

Describimos la perturbación del enunciado sabemos que el calor suministrado baja cero cuando t>0.

Q′(t)=Q(t)−Qs{Qs−Qssi t<00−Qssi t>0Q'(t)= Q(t)-Q_s \begin{cases} Q_s-Q_s &\text{si } t < 0 \\ 0 - Q_s &\text{si } t > 0\\ \end{cases}

Q′(t)={si t<0−Qssi t>0Q'(t)= \begin{cases} &\text{si } t < 0 \\ - Q_s &\text{si } t > 0\\ \end{cases}

Q′(t)=−QsQ'(t) = -Q_s

Aplicando al transformada de Laplace

Q′(s)=−QssQ'(s)= -\frac{Q_s}{s}

Reemplazando en la ecuacion (3) y sabiendo que Qs=50qρCpQ_s=50q\rho C_p

T′(s)=−50qρCps(VρCps+qρCp)T'(s)=-\frac{50q\rho C_p}{s(V\rho C_p s+q\rho C_p)}

Operando y reemplazando valores conocidos V=100V=100 y q=10q=10

T′(s)=−50s(Vs+q)=−50s(10s+1)T'(s)=-\frac{50}{s(Vs+q)}=-\frac{50}{s(10s+1)}

Antitransformando, recuerde T′(t)=T(t)−TsT'(t) = T(t)-T_s

T′(t)=50(e−t/10−1)T'(t)=50(e^{-t/10}-1)

T(t)=50(e−t/10−1)+80T(t)=50(e^{-t/10}-1)+80

Hallando la temperatura a t = 5 min

T(t=5)=50(e−5/10−1)+80T(t=5)=50(e^{-5/10}-1)+80

T(t=5min)=60.33 °C\mathbf{T(t=5min)=60.33\ °C}

Referencias

  • Babatunde, A. O.; Harmon, W. R. (1994). process dynamics, modeling, and control. OXFOR UNIVERSITY PRESS. ISBN 0-19-509119-1