Sistema de tanque con una válvula de resistencia descrita por un gráfico

Problema 5.3 (Process Systems Analysis and Control - Coughanowr, LeBlanc)

Un tanque con un área seccional de 2 pie² opera en estado estacionario con un flujo de entrada de 2 pie³/min. El flujo de salida vs la altura del sistema son representados en la figura.

Encuentre:

• La función transferencia $H(s)/Q(s)$.

• Si el flujo hacia el tanque se incrementa en de 2.0 a 2.2 pie³/min (paso unitario), calcule el nivel h, 2 minutos después del cambio.

$$ \begin{array}{l} Datos\ A = 2\space pie²\ q_s = 2\space pie³/min \end{array} $$

Obtención de la ecuación $q_0$

Como se observa en la gráfica $q_0$ es función de la altura y es una recta. Usando la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos tenemos $(h_{1}=0.3,q_{01}=1)$ y $(h_{2}=1,q_{02}=2.4)$ :

$$ \frac{q_0-q_{01}}{h-h_1}=\frac{q_{02}-q_{01}}{h_2 - h_1}\ $$ $$ \frac{q_0-1}{h-0.3}=\frac{2.4-1}{1 - 0.3}\ $$ $$ q_0 = 2h+0.4 $$

Escribiendo las ecuaciones de balance $$ q - q_0 = \frac{dV}{dt} $$

Pero $q_0 = 2h+0.4$ y $dV = Adh$

$$ q- (2h+0.4) = A\frac{dh}{dt} \space\space\space\space (1) $$

Escribiendo el balance en estado estacionario

$$ q_s- (2h_s+0.4) = 0 \space\space\space\space (2) $$

Restando (1) con (2) para obtener las variables desviación y recordando que $dh=d(h-h_s)$, por ser $h_s$ constante.

$$ q-q_s-2(h-h_s)+=A\frac{d(h-h_s)}{dt} $$

$$ Q - 2\cdot H = A\frac{dH}{dt} $$

Aplicando la tranformada de Laplacey sabiendo que $H(t=0)= h-h_s=h_s-h_s=0$

$$ Q(s) - 2H(s) = A(sH(s)-H(t=0))\ $$ $$ Q(s) - 2H(s) = AsH(s) $$

Despejando

$$ \mathbf{\frac{H(s)}{Q(s)}=\frac{1}{2 s+2}} \space\space\space\space (3) \ $$

Descripción de la perturbación

La perturbación sólo va a afectar el caudal de ingreso, esta puede ser representado por la variable desviación $Q(t)$

$$ Q(t)=q-q_s= \begin{cases} 2.0-2.0 &\text{si } t < 0 \ 2.2-2.0 \space\ pie³/min &\text{si } t>0\ \end{cases} $$

$$ Q(t)= \begin{cases} 0 &\text{si } t < 0 \ 0.2 \space\ pie³/min &\text{si } t>0\ \end{cases} $$

Expresando la misma función con impulsos unitarios y aplicando la transformada de Laplace

$$ Q(t) = 0.2\cdot u(t) $$ Entonces

$$ Q(s) = \frac{0.2}{s} $$

Resolviendo para $h(t=2)$

Reemplazando la expresión anterior en la ecuación (3)

$$ \begin{array}{l} H(s)= Q(s)\cdot \frac{1}{2s+2} \ \ H(s) = \frac{0.2}{s(2s+2)}\ \end{array} $$

Operando para realizar la antitransformada

$$ H(s) = \frac{0.2+0.2s-0.2s}{s(2s+2)}=\frac{0.1(2s+2)}{s(2s+2)}-\frac{0.2s}{s(2s+2)} $$

$$ H(s) = \frac{0.1}{s}-\frac{0.1}{(s+1)}\ $$

Aplicando la antitransformada $L^{-1}{\space}$

Recuerde $L^{-1}{\frac{1}{s+k}}= e^{-kt}$

$$ H(t) = 0.1-0.1\cdot e^{-t} $$

Calculando h(t=2)

De la ecuación en estado estacionario

$$ q_s-(2h_s+0.4)=0 => h_s=0.8 $$

Entonces

$$ h(t=2) = H(t=2) + h_s $$

$$ h(t=2)=0.1\cdot (1-e^{-2})+0.8 $$

$$ \mathbf{h(t=2)=0.8865\text{ pie}} $$

Referencias

• Coughanowr, D. R.; LeBlanc, S. E. (2009). Process Systems Analysis and Control (3rd edition). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-339789-4.